(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=CC1=2.(I)证明:AB1⊥BC1;(II)求点B到平面AB1C1

(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=CC1=2.(I)证明:AB1⊥BC1;(II)求点B到平面AB1C1

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(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=CC1=2.
(I)证明:AB1⊥BC1
(II)求点B到平面AB1C1的距离;
(III)求二面角C1—AB1—A1的大小.
答案
(I)证明见解析
(II)
(III)
解析
(法一)
(1)证:连B1C      ∵平面ABC⊥平面BCC1B1
又AC⊥BC  ∴AC⊥面BCC1B1  ∴B1C为AB1在面BCC1B1内的射影
又BC=BB1 ="2"   ∴四边形BCC1B1为正方形
∴B1C ⊥ BC1   ∴AB1⊥ BC1   …………………………………………………4分
(2)∵BC∥B1C1 
 ∴C到面AB1C1的距离即为B到面AB1C1的距离
∵平面A1B1C1⊥平面ACC1A1
又B1C1⊥A1C1 ∴B1C1⊥平面ACC1A1∴平面AB1C1⊥平面ACC1A1
连A1C∩AC1 ="O"
∵四边形ACC1A1为正方形  ∴CO⊥面AB1C1
∴CO即为所求 ∴CO= ∴B到面AB1C1的距离为 ………………………8分
(3)由(2)得 A1O⊥面AB1C1 
过O做OE⊥AB1于E 连A1E   由三垂线定理有A1E⊥AB1
∴∠A1EO为二面角C1-AB1-A1的平面角
又在Rt⊿A1OE中,A1O=   OE= 
∴tan∠A1EO=     ∴∠A1EO=
∴二面角C1-AB1-A1的大小为       …………………………………………12分
(法二)(1)建立直角坐标系,其中C为坐标原点.
依题意A(2,0,0),B(0,2,0),B1(0,2,2),
C1(0,0,2),因为,所以AB1⊥BC1. ……………4分 
(2)设是平面AB1C1的法向量,

所以,则
因为,所以,B到平面AB1C1的距离为.……………8分
(3)设是平面A1AB1的法向量.由
 令=1,

因为所以,二面角C1—AB1—A1的大小为60°…12分
举一反三
右图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,是展开图上的三点,则在正方形盒子中,的值为(   )
A.B.
C.D.

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四棱锥的四个侧面三角形中,最多有__________个直角三角形.
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如右图所示,已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,AF = 1,M是线段的中点.
(1)求证:平面
(2)求证:平面
(3)求二面角的大小.
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(本小题满分14分)
如图,四边形为矩形,平面上的点,且平面
(1)设点为线段的中点,点为线段的中点,求证:∥平面
(2)求证
(3)当时,求三棱锥的体积。

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把边长为a的正△ABC沿高线AD折成60的二面角,这时A到边BC的距离是(   )
A.B.C.D.

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