如图,在四面体ABOC中, , 且(Ⅰ)设为为的中点,证明:在上存在一点,使,并计算的值;(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值。

如图,在四面体ABOC中, , 且(Ⅰ)设为为的中点,证明:在上存在一点,使,并计算的值;(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值。

题型:不详难度:来源:
如图,在四面体ABOC中, , 且

(Ⅰ)设为的中点,证明:在上存在一点,使,并计算的值;
(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值。
答案
3,
解析
 解法一:
(Ⅰ)在平面内作, 连接
   又, 
   
   
   取的中点,则

在等腰 中,

中,
中,


(Ⅱ)

连接
知:.

又由
在平面内的射影。
在等腰中,的中点,
根据三垂线定理,知:
为二面角的平面角
在等腰中,
中,
中,

解法二:

为坐标原点,分别以所在的直线为轴,轴,建立空间直角坐标系 (如图所示)

中点,
 


 即
所以存在点 使得 且
(Ⅱ)记平面的法向量为,则由,且
, 故可取
又平面的法向量为

两面角的平面角是锐角,记为,则
举一反三
.(本小题满分12分)在右图所示的多面体中,                               
下部为正方体, 点的延长线上,
分别为的重心.
(1)已知为棱上任意一点,求证:∥面
(2)求二面角的大小.  

  
 

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(本小题满分14分)如图,已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中AC=3,AB=5,
(Ⅰ)求证:          
(Ⅱ)求证:AC1//平面CDB1
(Ⅲ)求三棱锥A1—B1CD的体积.
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表示三条不同的直线,表示平面,给出下列命题:
①若,则;②若,则
③若,则;④若,则.
A.①②B.②③C.①④D.③④

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如图,己知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,⊥BD垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD中点.

(Ⅰ)证明:PE⊥BC
(Ⅱ)若==60°,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.
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(本题满分14分)已知为平行四边形,是长方形,的中点,平面平面

(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求直线与平面
   成角的正切值.
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