(1)因为底面, 所以,∠SBA是SB与平面ABCD所成的角…………………….……….1分 由已知∠SBA=45°,所以AB=SA=1易求得,AP=PD=,……………………….2分 又因为AD=2,所以AD2=AP2+PD2,所以.………….…….3分 因为SA⊥底面ABCD,平面ABCD, 所以SA⊥PD, …………….……………………….…....4分 由于SA∩AP=A 所以平面SAP.…………………………….5分 (2)设Q为AD的中点,连结PQ, ………………….………6分 由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD,则平面SAD⊥平面PAD….7分 因为PQ⊥AD,所以PQ⊥平面SAD 过Q作QR⊥SD,垂足为R,连结PR, 由三垂线定理可知PR⊥SD, 所以∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角. …9分 容易证明△DRQ∽△DAS,则 因为DQ= 1,SA=1,,所以….……….10分 在Rt△PRQ中,因为PQ=AB=1,所以………11分 所以二面角A-SD-P的大小为.……………….…….…….12分 或:过A在平面SAP内作,且垂足为H,在平面SAD内作,且垂足为E,连接HE,平面SAP。平面SPD…………7分 ∴HE为AE在平面SPD内的射影,∴由三垂线定理得 从而是二面角A-SD-P的平面角……………………………….9分 在中,,在中,, . ………………………………….11分 即二面角的大小为……………………………12分 解法二:因为底面, 所以,∠SBA是SB与平面ABCD所成的角…………………………………1分 由已知∠SBA=45°,所以AB=SA=1 建立空间直角坐标系(如图) 由已知,P为BC中点. 于是A(0,0,0)、B(1,0,0) 、P(1,1,0)、D(0,2,0)、S(0,0,1) ……..….2分 (1)易求得, ,..………….…....3分 因为,=0。 所以, 由于AP∩SP=P,所以平面SAP ………….……………..….…5分 (2)设平面SPD的法向量为 由,得 解得, 所以 ……………….…………….……….8分 又因为AB⊥平面SAD,所以是平面SAD的法向量,易得…9分 所以 ….………………….11分 所求二面角的大小为. ……………….……….…… 12分 |