如图,四棱锥P—ABCD中,底面四边形ABCD是正方形,侧面PDC是边长为a的正三角形,且平面PDC⊥底面ABCD,E为PC的中点。 (I)求异
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如图,四棱锥P—ABCD中,底面四边形ABCD是正方形,侧面PDC是边长为a的正三角形,且平面PDC⊥底面ABCD,E为PC的中点。 (I)求异
题型:不详
难度:
来源:
如图,四棱锥P—ABCD中,底面四边形ABCD是正方形,侧面PDC是边长为
a
的正
三角形,且平面PDC⊥底面ABCD,E为PC的中点。
(I)求异面直线PA与DE所成的角; (II)求点D到面PAB的距离.
答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)
解析
(1)解法一:连结AC,BD交于点O,连结EO.
∵四边形ABCD为正方形,∴AO=CO,又∵PE=EC,∴PA∥EO,
∴∠DEO为异面直线PA与DE所成的角……………………3分
∵面PCD⊥面ABCD,AD⊥CD,∴AD⊥面PCD,∴AD⊥PD.
在Rt△PAD中,PD=AD=
a
,则
,
∴异面直线PA与DE的夹角为
……………………6分
(2)取DC的中点M,AB的中点N,连PM、MN、PN.
∴D到面PAB的距离等于点M到
面PAB的距离.……7分
过M作MH⊥PN于H,
∵面PDC⊥面ABCD,PM⊥DC,
∴PM⊥面ABCD,∴PM⊥AB,
又∵AB⊥MN,PM∩MN=M,
∴AB⊥面PMN. ∴面PAB⊥面PMN,
∴MH⊥面PAB,
则MH就是点D到面PAB的距离.……10分
在
………………12分解法二:如图取DC的中点O,连PO,
∵△PDC为正三角形,∴PO⊥DC.
又∵面PDC⊥面ABCD,∴PO⊥面ABCD.
如图建立空间直角坐标系
则
.………………………………3分
(1)E为PC中点,
,
,
∴异面直线PA与DE所成的角为
……………………6分
(2)可求
,
设面PAB的一个法向量为
,
①
. ②
由②得y=0,代入①得
令
…………………………9分
则D到面PAB的距离d等于
在n上射影的绝对值
即点D到面PAB的距离等于
………………………………12分
举一反三
如图,已知平行六面体
的底面ABCD是菱形,且
,(1)证明:
;
(II)假定CD=2,
,记面
为α,面CBD为β,求二面角α -BD -β的平面角的余弦值;
(III)当
的值为多少时,能使
?请给出证明.
题型:不详
难度:
|
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如图直棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中AB=
,AC=3,BC=
,D是A
1
C的中点E是侧棱BB
1
上的一动点。
(1)当E是BB
1
的中点时,证明:DE//平面A
1
B
1
C
1
;
(2)求
的值
(3)在棱 BB
1
上是否存在点E,使二面角E-A
1
C-C是直二面角?若存在求
的值,不存在则说明理由。
题型:不详
难度:
|
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如图,某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作:先在地平面
内作菱形ABCD,边长为1,∠BAD=60°,再在
的上方,分别以△
与△
为底面安装上相同的正棱锥P-ABD与Q-CBD,∠APB=90°.
(Ⅰ)求证:PQ⊥BD;
(Ⅱ)求二面角P-BD-Q的余弦值;
(Ⅲ)求点P到平面QBD的距离.
题型:不详
难度:
|
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已知四棱锥
(如图)底面是边长为2的正方形.侧棱
底面
,
、
分别为
、
的中点,
于
。
(Ⅰ)求证:平面
⊥平面
;
(Ⅱ)直线
与平面
所成角的正弦值为
,求PA的长;
(Ⅲ)在条件(Ⅱ)下,求二面角
的余弦值。
题型:不详
难度:
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如图,平面ACB⊥平面BCD,∠CAB=∠CBD=90
0
, ∠BDC=60
0
,BC=6,AB=AC.
(Ⅰ)求证:平面ABD⊥平面ACD;(Ⅱ)求二面角A—CD—B的平面角的正切值;
(Ⅲ)设过直线AD且与BC平行的平面为
,求点B到平面
的距离。
题型:不详
难度:
|
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