如图,某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作:先在地平面内作菱形ABCD,边长为1,∠BAD=60°,再在的上方,分别以△与△为底面安装上相同的正棱锥P-AB
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如图,某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作:先在地平面内作菱形ABCD,边长为1,∠BAD=60°,再在的上方,分别以△与△为底面安装上相同的正棱锥P-AB
题型:不详
难度:
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如图,某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作:先在地平面
内作菱形ABCD,边长为1,∠BAD=60°,再在
的上方,分别以△
与△
为底面安装上相同的正棱锥P-ABD与Q-CBD,∠APB=90°.
(Ⅰ)求证:PQ⊥BD;
(Ⅱ)求二面角P-BD-Q的余弦值;
(Ⅲ)求点P到平面QBD的距离.
答案
(1)证明见解析(2)
(3)
解析
(Ⅰ)由P-ABD,Q-CBD是相同正三棱锥,可知△PBD与△QBD是全等等腰三角形 …1分
取BD中点E,连结PE、QE,则BD⊥PE,BD⊥QE.故BD⊥平面PQE,从而BD⊥PQ. ………4分
(Ⅱ)由(1)知∠PEQ是二面角P-BD-Q的平面角 ……………………5分
作PM⊥平面
,垂足为M,作QN⊥平面
,垂足为N,则PM∥QN,M、N分别是正△ABD与正△BCD的中心,从而点A、M、E、N、C共线,PM与QN确定平面PACQ,且PMNQ为矩形. ……可得ME=NE=
,PE=QE=
,PQ=MN=
…7分∴cos∠PEQ=
………9分
(Ⅲ)由(1)知BD⊥平面PEQ.设点P到平面QBD的距离为h,则
∴
.
∴
. ∴
. …………………………14分
举一反三
已知四棱锥
(如图)底面是边长为2的正方形.侧棱
底面
,
、
分别为
、
的中点,
于
。
(Ⅰ)求证:平面
⊥平面
;
(Ⅱ)直线
与平面
所成角的正弦值为
,求PA的长;
(Ⅲ)在条件(Ⅱ)下,求二面角
的余弦值。
题型:不详
难度:
|
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如图,平面ACB⊥平面BCD,∠CAB=∠CBD=90
0
, ∠BDC=60
0
,BC=6,AB=AC.
(Ⅰ)求证:平面ABD⊥平面ACD;(Ⅱ)求二面角A—CD—B的平面角的正切值;
(Ⅲ)设过直线AD且与BC平行的平面为
,求点B到平面
的距离。
题型:不详
难度:
|
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如图,已知正三棱柱
中,
,
,点
、
、
分别在棱
、
、
上,且
.
(Ⅰ)求平面
与平面
所成锐二面角的大小;
(Ⅱ)求点
到平面
的距离.
题型:不详
难度:
|
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已知某几何体的三视图如下图所示,其中左视图是边长为2的正三角形,主视图是矩形且
,俯视图中
分别是所在边的中点,设
为
的中点.
(1)求其体积;(2)求证:
;
(3)
边上是否存在点
,使
?若不存在,说明理由;若存在,请证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图.在直观图中,
是
的中点.侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角
三角形,有关数据如图所示.
(Ⅰ)求出该几何体的体积;
(Ⅱ)求证:
EM
∥平面
ABC
;
(Ⅲ) 试问在棱
DC
上是否存在点N,使NM⊥平面
?若存在,确定点N的位置;
若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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