如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，AD∥BC，∠ABC＝90°，且，又PA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝3PA＝3a。（I）求二面角P—CD—A的正切值；（II

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如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，AD∥BC，∠ABC＝90°，且，又PA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝3PA＝3a。
（I）求二面角P—CD—A的正切值；
（II）求点A到平面PBC的距离。

答案

（Ⅰ）（Ⅱ）

解析

（1）在底面ABCD内，过A作AE⊥CD，垂足为E，连结PE

∵PA⊥平面ABCD，由三垂线定理知：PE⊥CD
∵∠PEA是二面角P—CD—A的平面角
在中，
在中，∴二面角P—CD—A的正切值为
（II）在平面APB中，过A作AH⊥PB，垂足为H∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC
又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB∴平面PBC⊥平面PAB
∴AH⊥平面PBC 故AH的长即为点A到平面PBC的距离
在等腰直角三角形PAB中，，所以点A到平面PBC的距离为