图①是一个正方体的表面展开图,MN和PQ是两条面对角线,请在图(2)的正方体中将MN,PQ画出来,并就这个正方体解答下列各题:(1)求MN和PQ所成角的大小;(
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图①是一个正方体的表面展开图,MN和PQ是两条面对角线,请在图(2)的正方体中将MN,PQ画出来,并就这个正方体解答下列各题:(1)求MN和PQ所成角的大小;(
题型:不详
难度:
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图①是一个正方体的表面展开图,MN和PQ是两条面对角线,请在图(2)的正方体中将MN,PQ画出来,并就这个正方体解答下列各题:
(1)求MN和PQ所成角的大小;
(2)求四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比;
(3)求二面角M—NQ—P的大小。
答案
(Ⅰ)60°(Ⅱ)1:6(Ⅲ)60°
解析
(1)如图②,作出MN、PQ
∵PQ∥NC,又△MNC为正三角形
∴∠MNC=60°
∴PQ与MN成角为60°
即四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比为1:6
(3)连结MA交PQ于O点,则MO⊥PQ
又NP⊥面PAQM,∴NP⊥MO,则MO⊥面PNQ
过O作OE⊥NQ,连结ME,则ME⊥NQ
∴∠MEO为二面角M—NQ—P的平面角
在Rt△NMQ中,ME·NQ=MN·MQ
设正方体的棱长为a
∴∠MEO=60°
即二面角M—NQ—P的大小为60°。
举一反三
如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱
与正三棱锥
组成,其中,
.它的正视图、俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为
,
,
.
(Ⅰ)求直线
与平面
所成角的正弦;
(Ⅱ)在线段
上是否存在点
,使
平面
.若存在,确定点
的位置;若不存在,说明理由.
题型:不详
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如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.
(1)证明PA//平面BDE;
(2)求二面角B—DE—C的平面角的余弦值;
(3)在棱PB上是否存在点F,使PB⊥平面DEF?证明你的结论.
题型:不详
难度:
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如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,侧面PAD⊥底面ABCD,且△PAD为等腰直角三角形,∠APD=90°,
M为AP的中点.
(Ⅰ)求证:DM∥平面PCB;
(Ⅱ)求直线AD与PB所成角;
(Ⅲ)求三棱锥P-MBD的体积.
题型:不详
难度:
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已知四棱锥P-ABCD,底面是边长为1的正方形,侧棱PC长为2,且PC⊥底面ABCD,E是侧棱PC上的动点。
(Ⅰ)不论点E在何位置,是否都有BD⊥AE?证明你的结论;
(Ⅱ)求点C到平面PDB的距离;
(Ⅲ)若点E为PC的中点,求二面角D-AE-B的大小.
题型:不详
难度:
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在棱长为
的正方体
中,
为棱
的中点.
(Ⅰ)求证:
平面
; (Ⅱ)求
与平面
所成角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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