已知四棱锥P-ABCD,底面是边长为1的正方形,侧棱PC长为2,且PC⊥底面ABCD,E是侧棱PC上的动点。(Ⅰ)不论点E在何位置,是否都有BD⊥AE?证明你的
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已知四棱锥P-ABCD,底面是边长为1的正方形,侧棱PC长为2,且PC⊥底面ABCD,E是侧棱PC上的动点。(Ⅰ)不论点E在何位置,是否都有BD⊥AE?证明你的
题型:不详
难度:
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已知四棱锥P-ABCD,底面是边长为1的正方形,侧棱PC长为2,且PC⊥底面ABCD,E是侧棱PC上的动点。
(Ⅰ)不论点E在何位置,是否都有BD⊥AE?证明你的结论;
(Ⅱ)求点C到平面PDB的距离;
(Ⅲ)若点E为PC的中点,求二面角D-AE-B的大小.
答案
(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)
(Ⅲ)
解析
证明:(Ⅰ) 不论点E在何位置,都有BD⊥AE …………1分
连结AC,由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形
∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且
平面
∴BD⊥PC ………3分
又∵
∴BD⊥平面PAC
∵不论点E在何位置,都有AE
平面PAC
∴不论点E在何位置,都有BD⊥AE ………………5分
解:(Ⅱ)由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,
侧棱PC⊥底面ABCD,且PC="2. " ………………7分
设点C到平面PDB的距离为d,
,
,
,
---------------------------10分
(Ⅲ) 解法1:在平面DAE内过点D作DG⊥AE于G,连结BG
∵CD="CB,EC=EC," ∴
≌
∴ED="EB," ∵AD="AB " ∴△EDA≌△EBA
∴BG⊥EA ∴
为二面角D-EA-B的平面角……………… 12分
∵BC⊥DE, AD∥BC ∴AD⊥DE
在Rt△ADE中,
=
="BG"
在△DGB中,由余弦定理得
∴
=
………………15分
解法2:以点C为坐标原点,CD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示:
则
,从而
……………… 11分
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为
由法向量的性质可得:
,
令
,则
,
∴
………13分
设二面角D-AE-B的平面角为
,则
∴
………………………………… 15分
举一反三
在棱长为
的正方体
中,
为棱
的中点.
(Ⅰ)求证:
平面
; (Ⅱ)求
与平面
所成角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥
中,底面
是矩形,已知
.
(1)证明:
平面
;
(2)求异面直线PC与AD所成的角的大小;
(3)求二面角
的大小.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知:在菱形ABCD中,∠DAB=60°,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,E,F分别是AB与PD的中点.
(1)求证:PC⊥BD;
(2)求证:AF//平面PEC;
(3)求二面角P—EC—D的大小.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知长方体
直线
与平面
所成的角为
,
垂直
于
,
为
的中点.
(1)求异面直线
与
所成的角;
(2)求平面
与平面
所成的二面角;
(3)求点
到平面
的距离.
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠
, AB∥CD,AD=CD=2AB=2,E,F分别是PC,CD的中点.
(Ⅰ)证明:CD⊥平面BEF;
(Ⅱ)设
,
求
k
的值.
题型:不详
难度:
|
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