在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,且E,F分别是AB,BD的中点,求证:(1)直线EF∥平面ACD;(2)平面EFC⊥平面BCD.

在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,且E,F分别是AB,BD的中点,求证:(1)直线EF∥平面ACD;(2)平面EFC⊥平面BCD.

题型:不详难度:来源:
在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,且E,F分别是AB,BD的中点,求证:
(1)直线EF∥平面ACD;
(2)平面EFC⊥平面BCD.
答案
证明略
解析
  (1)∵E,F分别是AB,BD的中点,
∴EF是△ABD的中位线,∴EF∥AD.
∵EF平面ACD,AD平面ACD,
∴直线EF∥平面ACD.
(2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD.
∵CB=CD,F是BD的中点,
∴CF⊥BD.又EF∩CF=F,
∴BD⊥平面EFC.
∵BD平面BCD,
∴平面EFC⊥平面BCD.
举一反三
一个多面体的直观图和三视图(正视图、左视图、俯视图)如图所示,M、N分别为A1B、B1C1的中点.求证:

(1)MN∥平面ACC1A1
(2)MN⊥平面A1BC.
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正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为面A1B1C1D1的中心,求证:PAPB1.
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如图所示,在长方体OABC-O1A1B1C1中,|OA|="2," |AB|=3,|AA1|=3,MOB1BO1的交点,则M点的坐标是____________.
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如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,EPC的中点.求证:PA∥平面EDB.
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如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC为直角三角形,∠C=90°,侧棱与底面成60°角,点B1在底面的射影DBC的中点.

求证:AC⊥平面BCC1B1.
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