方法一 (1) 过点E作EG⊥CF交CF于G,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021043105-86310.jpg) 连接DG.可得四边形BCGE为矩形, 又四边形ABCD为矩形,
所以AD EG,从而四边形ADGE为平行四边形, 故AE∥DG. 因为AE 平面DCF,DG 平面DCF, 所以AE∥平面DCF. (2) 过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H,连接AH. 由平面ABCD⊥平面BEFC,AB⊥BC, 得AB⊥平面BEFC, 从而AH⊥EF,所以∠AHB为二面角A—EF—C的平面角. 在Rt△EFG中,因为EG=AD= ,EF=2, 所以∠CFE=60°,FG=1, 又因为CE⊥EF,所以CF=4, 从而BE=CG=3. 于是BH=BE·sin∠BEH= . 因为AB=BH·tan∠AHB= × = , 所以当AB为 时,二面角A—EF—C的大小为60°. 方法二 如图所示,以点C为坐标原点,以CB、CF和CD所在直线分别作为x轴、y轴和z轴,建立空间直角坐标系C—xyz.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021043106-71959.gif) 设AB=a,BE=b,CF=c, 则C(0,0,0),A( ,0,a), B( ,0,0),E( ,b,0),F(0,c,0). (1) =(0,b,-a), =( ,0,0), =(0,b,0), 所以 · =0, · =0,从而CB⊥AE,CB⊥BE. AE∩BE=E,所以CB⊥平面ABE. 因为CB⊥平面DCF, 所以平面ABE∥平面DCF,AE 平面ABE. 故AE∥平面DCF. (2)因为 =(- ,c-b,0), =( ,b,0).
· =0,| |=2, 所以 解得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021043108-97374.gif) 所以E( ,3,0),F(0,4,0). 设n=(1,y,z)与平面AEF垂直, 则n· =0,n· =0,解得n=(1, , ). 又因为BA⊥平面BEFC, =(0,0,a), 所以|cos〈n, 〉|=![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021043109-24395.gif) 解得a= . 所以当AB为 时,二面角A—EF—C的大小为60°. |