解法一: (1)因为,所以SC在底面的射影是CD 又因为底面ABCD是正方形,所以,所以…………4分 (2)取AB的中点P,连结MP,DP 在中,由中位线得 MP//SB ,所以 是异面直线DM与SB所成的角或其补角, 因为,又, 所以,因此 所以异面直线DM与SB所成的角为…………9分 (3)因为,底面ABCD是正方形, 所以可以把四棱锥补成长方体, 面与面所成二面角就是面与面所成二面角 因为,,所以 又,所以为所求的二面角的平面角 在中,由勾股定理得,在,得 所以,即面与面所成二面角为。. …………14分
解法二:以点D为坐标原点,建立如图的空间直角坐标系, 因为ABCD是边长为1的正方形,且, 所以,,则,, ,, 因为,,则 所以,即…………4分 (2)设所求的异面直线所成的角为,因为 所以 故异面直线DM与SB所成的角为…………9分 (3)设所求二面角的平面角为,由题意可以面ASD的一个法向量为,设面BSC的一个法向量为,则 所以 而与所成的角就是所求的二面角的平面角或其补角,所以 所以面与面所成二面角为。…………14分 |