解法一: 证明:(I)∵PA⊥底面ABCD,平面ABCD, ∴PA⊥BC ∵∠ACB=90° ∴BC⊥AC 又 ∴BC⊥平面PAC 4分 解:(II)∵AB//CD,∠DAB=120° ∴∠ADC=60°,又AD=CD=1 ∴△ADC为等边三角形,且AC=1 5分 取AC的中点O,则DO⊥AC ∵PA⊥底面ABCD ∴PA⊥DO ∴DO⊥平面PAC 过O作OH⊥PC,垂足为H,连DH,由三垂线定理知DH⊥PC ∴∠DHO为二面角D—PC—A的平面角 7分 由 8分 ∴二面角D—PC—A的大小为arctan2 9分 (III)设点B到平面PCD的距离为d ∵AB//CD,平面PCD ∴AB//平面PCD ∴点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离 11分 13分 14分 解法二: 证明:(I)同解法一 4分 解:(II)取CD的中点E,则AE⊥CD ∴AE⊥AB 又PA⊥底面ABCD,底面ABCD ∴PA⊥AE 5分 建立空间直角坐标系,如图。则
A(0,0,0), 7分 设为平面PAC的一个法向量 为平面PDC的一个法向量,则 , 可取; ,可取 9分 10分 故所求二面角的大小为 11分 (III)又B(0,2,0), 12分 由(II)取平面PCD的一个法向量 ∴点B到平面PCD的距离为 13分 14分 |