(1)证明:∵PD=a,AD=a,PA=a, ∴PD2+DA2=PA2,同理∴∠PDA=90°. 即PD⊥DA,PD⊥DC,∵AO∩DC=D,∴PD⊥平面ABCD. (2)连接BD,∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC ∵PD⊥平面ABCD ∴PD⊥AC ∵PD∩BD=D ∴AC⊥平面PDB∵PBÌ平面PDB ∴AC⊥PB∴PB与AC所成的角为90° (3)设AC∩BD=0,过A作AE⊥PB于E,连接OE ∵AO⊥平面PBD∴OE⊥PB ∴∠AEO为二面角A-PB-D的平面角 ∵PD⊥平面ABCD,AD⊥AB ∴PA⊥AB在Rt△PDB中,PB==a, 在Rt△PAB中, ∵S=PA•AB=•PB•AE ∴AE===a,AO=AC=a 在Rt△AOE中,sin∠AEO==,∴∠AEO=60°∴二面角A-PB-D的大小为60. (4)设此球半径为R,最大的球应与四棱锥各个面都相切, 设球心为S,连SA、SB、SC、SD、SP,则把此四棱锥分为五个棱锥,设它们的高均为RVP-ABCD=•S♢ABCD•PD=•a•a•a=a3S△PAD=S△PDC=•a•a=a2 S△PAB=S△PBC=•a•a=a2 S♢ABCD=a2 ∵VP-ABCD=VS-PDA+VS-PDC+VS-ABCD+VS-PAB+VS-PBC a3=R(S△PAD+S△PDC+S△PAB+S△PBC+S♢ABCD)a3=R(a2+a2+a2+a2+a2) ∴(2+)a2=a3∴R==a=(1-)a ∴球的最大半径为(1-a) (5)设PB的中点为F,∵在Rt△PDB中:FP=FB=FD 在Rt△PAB中:FA=FP=FB,在Rt△PBC中:FP=FB=FC ∴FP=FB=FA=FC=FD∴F为四棱锥外接球的球心 则FP为外接球的半径∵FP=PB∴FP=a ∴四棱锥外接球的半径为a |