将半径为72cm的扇形OAB剪去小扇形OCD，余下扇环ABCD的面积为648πcm2，围成圆台后，其上、下底半径之差为6cm，求该圆台的体积．

题型：不详难度：来源：

将半径为72cm的扇形OAB剪去小扇形OCD，余下扇环ABCD的面积为648πcm²，围成圆台后，其上、下底半径之差为6cm，求该圆台的体积．

答案

根据题意，设扇形的圆心角是α弧度，扇形OCD的半径为R₁，
扇形OAB的半径为R₂=72，圆台上底面半径为r₁，下底面半径为r₂，圆台高为h，
∵扇形OAB的面积S₂=

1

2

αR₂²=

1

2

α•72²，扇形OCD的面积S₁=

1

2

αR₁²
∴S₂-S₁=

1

2

α（72²-R₁²）=648πcm²，可得

1

2

α（72+R₁）（72-R₁）=648πcm²…（1）
∵弧AB=αR₂=72α=2π•r₂，弧CD=αR₁=2πr₁，r₂-r₁=6
∴r₂=

36α

π

，r₁=

R1α

2π

，可得

72α-R1α

2π

=6，整理得

1

2

α（72-R₁）=6π…（2）
将（2）代入（1），得6π•（72+R₁）=648πcm²，解得R₁=36cm
代入（2），得α=

π

3

，
从而得到r₁=6，r₂=12，圆台母线长为R₂-R₁=72-36=36
∴圆台高h=

362-(12-6)2

=6

35

根据圆台体积公式，得圆台的体积为
V=

πh

3

（r₁²+r₁r₂+r₂²）=

π

3

×6

35

（6²+6×12+12²）=504

35

πcm²．