在三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,H是△ABC的垂心求证:(1)PH⊥底面ABC (2)△ABC是锐角三角形.
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在三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,H是△ABC的垂心求证:(1)PH⊥底面ABC (2)△ABC是锐角三角形.
题型:不详
难度:
来源:
在三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,H是△ABC的垂心
求证:(1)PH⊥底面ABC (2)△ABC是锐角三角形.
答案
证明:(1)连接AH并延长交BC于一点E,连接PH,由于PA,PB,PC两两垂直可以得到PA⊥面PBC,而BC⊂面PBC,∴BC⊥PA,又H是三角形ABC的垂心,故AE⊥BC,又AE∩PA=A,∴BC⊥面PAE,而PH⊂面PAE,∴PH⊥BC,同理可以证明PH⊥AC,又AC∩BC=C,∴PH⊥底面ABC.
(2)设PA=a;PB=b;PC=c,则AB
2
=a
2
+b
2
,同理BC
2
=c
2
+b
2
,Ac
2
=a
2
+c
2
,在三角形ABC中,由余弦定理得:
cosA=
AB
2
+AC
2
-BC
2
2AB×AC
=
a
2
+b
2
+a
2
+c
2
-c
2
-b
2
2
a
2
+b
2
a
2
+c
2
=
a
2
a
2
+b
2
a
2
+c
2
>0
,同理可证cosB>0,cosC>0,所以,)△ABC是锐角三角形.
举一反三
设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H,给出以下命题:
①若PA⊥BC,PB⊥AC,则H是△ABC的垂心;
②若PA,PB,PC两两互相垂直,则H是△ABC的垂心;
③若∠ABC=90°,H是AC的中点,则PA=PB=PC;
④若PA=PB=PC,则H是△ABC的外心,其中正确命题的命题是______.
题型:不详
难度:
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将一个直三棱柱分割成三个三棱锥,试将这三个三棱锥分离.
题型:不详
难度:
|
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下列三种叙述,其中正确的有
①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台.
②两个底面平行且相似,其余的面都是梯形的多面体是棱台.
③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
题型:不详
难度:
|
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在△ABC中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°,若使绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体的体积是( )
A.
3
2
π
B.
5
2
π
C.
7
2
π
D.
9
2
π
题型:北京
难度:
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如图,在棱长为2的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
内有一个内切球O,则过棱AA
1
和BC的中点P、Q的直线被球面截在球内的线段MN的长为( )
A.
2(
2
-1)
B.
2
C.
2
3
D.
1
2
题型:不详
难度:
|
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