如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E、G分别是AB、BB1、AC1的中点，AB=BB1=2．（Ⅰ）在棱B1C1上是否存在点F使GF∥DE？如果存在，试

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如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E、G分别是AB、BB₁、AC₁的中点，AB=BB₁=2．
（Ⅰ）在棱B₁C₁上是否存在点F使GF∥DE？如果存在，试确定它的位置；如果不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求截面DEG与底面ABC所成锐二面角的正切值．

答案

（Ⅰ）存在且为B₁C₁的中点，连接AB₁，
∵D、E、G分别是AB₁、BB₁、AC₁的中点，∴DE∥AB₁∥GF；
（Ⅱ）延长FE与CB的延长线交于M，连接DM，则DM为截面与底面所成二面角的棱，取BC的中点N，连FN，则FN∥BB₁．
∵EB∥FN，EB=

1

2

FN，∴B为MN的中点．
由题设得BM=BN=BE=BD=1，且∠DEM=120°，
作EH⊥DM于H，则∠BDM=∠BMD=30°，连BH，
又BE⊥底面ABC，
由三垂线定理可知DM⊥EH，
∴∠EHB为截面与底面所成的锐二面角．
在Rt△EHB中，BE=1，EH=

1

2

BD=

1

2

，
∴tan∠EHB=

BE

EH

=2．