如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线与AA1的交点记为M，求：（Ⅰ）三棱柱的侧面展开

题型：北京高考真题难度：来源：

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA₁到顶点C₁的最短路线与AA₁的交点记为M，
求：（Ⅰ）三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（Ⅱ）该最短路线的长及的值；
（Ⅲ）平面C₁MB与平面ABC所成二面角（锐角）的大小。

答案

解：（Ⅰ）正三棱柱的侧面展开图是长为6，
宽为2的矩形，
其对角线长为； （Ⅱ）如图，将侧面绕棱AA₁
旋转120°使其与侧面在同一平面上，
点B运动到点D的位置，
连接DC₁交AA₁于M，
则DC₁就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA₁到顶点C₁的最短路线，
其长为，
，
∴，
故；
（Ⅲ）连接DB，C₁B，则DB就是平面C₁MB与平面ABC的交线，
在△DCB中，
，
∴，
又，
由三垂线定理得，
∴就是平面C₁MB与平面ABC所成二面角的平面角
（锐角），
∵侧面是正方形，
∴，
故平面C₁MB与平面ABC所成的二面角（锐角）为45°。