试题分析:(1)欲证平面平面,只需证其中的一个平面经过另一平面的一条垂线即可,考虑到题设中所给的矩形以及面面垂直关系,易证:,从而平面; (2)作,垂足为,连结;可证≌是的中点, 从而求得四棱锥的高,进一步求得四棱锥的体积. 试题解析:(Ⅰ)因为四棱锥的底面是矩形,所以, 又侧面底面,所以. 又,即,而,所以平面. 因为PAÌ平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD. 4分
(Ⅱ)如图,作PO⊥AD,垂足为O,则PO⊥平面ABCD. 连结OB,OC,则PO⊥OB,PO⊥OC. 因为PB=PC,所以Rt△POB≌Rt△POC,所以OB=OC. 依题意,ABCD是边长为2的正方形,由此知O是AD的中点. 7分 在Rt△OAB中,AB=2,OA=1,OB=. 在Rt△OAB中,PB=,OB=,PO=1. 10分 故四棱锥P-ABCD的体积V=AB2·PO=. |