已知几何体A—BCED的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形.(1)求此几何体的体积V的大小;(2)求异面直线DE与

已知几何体A—BCED的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形.(1)求此几何体的体积V的大小;(2)求异面直线DE与

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已知几何体A—BCED的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形.
(1)求此几何体的体积V的大小;
(2)求异面直线DE与AB所成角的余弦值;
(3)试探究在DE上是否存在点Q,使得AQBQ并说明理由.

答案
(1);(2);(3)存在点Q,使得AQBQ.
解析

试题分析:(1)由三视图还原几何体为一个锥体,利用锥体体积公式求解;(2)法1:化空间角为平面角,在一个三角形内求值;法2:建立空间直角坐标系求解;(3)法1:假设存在,通过构造面面垂直来实现AQBQ;法2:建立空间直角坐标系,转化为两对应向量数量积为零,求出点Q的坐标.
试题解析:(1)由该几何体的三视图知,且EC="BC=AC=4" ,BD=1,



即该几何体的体积V为.                 3分
(2)解法1:过点B作BF//ED交EC于F,连结AF,
则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角.    5分
在△BAF中,∵AB=,BF=AF=

即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为.                 7分
解法2:以C为原点,以CA,CB,CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
则A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,1),E(0,0,4)

,∴ 
∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为
(3)解法1:在DE上存在点Q,使得AQBQ.                    8分
取BC中点O,过点O作OQ⊥DE于点Q,则点Q满足题设.
连结EO、OD,在Rt△ECO和Rt△OBD中
   ∴   
 ∴  
.                                              11分
,

∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切.切点为Q


, ∴ ∴      13分
面ACQ
.                                               14分
解法2: 以C为原点,以CA,CB,CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
设满足题设的点Q存在,其坐标为(0,m,n),则

∵AQBQ   ∴              ①
∵点Q在ED上,∴存在使得
     ②
②代入①得,解得
∴满足题设的点Q存在,其坐标为
举一反三
右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的体积是(    )
A. B.C.D.

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若正三棱柱的三视图如图所示,该三棱柱的表面积是(  )
A.B.C.D.

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某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为(    )
A.180B.240C.276D.300

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一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为,则.

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一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图所示.若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两部分,则截面的面积为  (   )  
A.B.C.D.

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