（本小题满分12分）如图,在三棱柱中,侧棱与底面垂直,,,点分别为和的中点.(1)证明:平面;(2)求三棱锥的体积;(3)证明:平面.

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）如图,在三棱柱中,侧棱与底面垂直,,,点分别为和的中点.
(1)证明:平面;
(2)求三棱锥的体积;
(3)证明:平面.

答案

(1)见解析(2)(3)见解析

解析

试题分析：(1)证法一：由题设知,, 
又
 
平面,平面, 
平面,                          …………1分
平面
.                                                     …………2分
又四边形为正方形,为的中点,
                                    …………3分
,平面,平面 
平面                            …………4分
证法二：在中，
在中，.
,
即为等腰三角形. …………1分
又点为的中点,
.         …………2分
又四边形为正方形,为的中点,
          …………3分
,平面,平面   平面                                 …………4分
（2）由(1)的证明可得:
三棱锥的体积…………6分
        
                    …………8分
(3)证法一: 连接由题意知,点分别为和的中点,
.                                      …………10分
又平面,平面,
平面.                             …………12分
点评：本题还可用空间向量的方法来求解