如图,设是棱长为的正方体的一个顶点,过从此顶点出发的三条棱的中点作截面,对正方体的所有顶点都如此操作,所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体,则关于此多面体
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如图,设是棱长为的正方体的一个顶点,过从此顶点出发的三条棱的中点作截面,对正方体的所有顶点都如此操作,所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体,则关于此多面体
题型:不详
难度:
来源:
如图,设
是棱长为
的正方体的一个顶点,过从此顶点出发的三条棱的中点作截面,对正方体的所有顶点都如此操作,所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体,则关于此多面体有以下结论:①有
个顶点;②有
条棱;③有
个面;④表面积为
;⑤体积为
.其中正确的结论是____________.(要求填上所有正确结论的序号)
答案
①②⑤
解析
解:如图,
原来的六个面还在只不过是变成了一个小正方形,再添了八个顶点各对应的一个三角形的面,所以总计6+8=14个面,故③错;
每个正方形4条边,每个三角形3条边,4×6+3×8=48,考虑到每条边对应两个面,所以实际只有
×48=24条棱.②正确;
所有的顶点都出现在原来正方体的棱的中点位置,
原来的棱的数目是12,所以现在的顶点的数目是12.
或者从图片上可以看出每个顶点对应4条棱,每条棱很明显对应两个顶点,所以顶点数是棱数的一半即12个.①正确;
三角形和四边形的边长都是
a,所以正方形总面积为6×
×a
2
=3a
2
,三角形总面积为8×
×
a
2
sin60°=
a
2
,表面积(3+
)a
2
,故④错;
体积为原正方形体积减去8个三棱锥体积,每个三棱锥体积为8×
(
)
3
=
a
2
,剩余总体积为a
3
-
a
3
=
a
3
⑤正确.
故答案为:①②⑤.
举一反三
(本小题满分10分)
如图,在三棱锥
中,
底面
, 点
,
分别在棱
上,且
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)当
为
的中点时,求
与平面
所成的角的正弦值;
题型:不详
难度:
|
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(本题满分10分)
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=2,E为PA的中点,过E作平行于底面的平面EFGH,分别与另外三条侧棱相交于点F、G、H. 已知底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,∠BCD=135°.
(1)求异面直线AF与BG所成的角的大小;
(2)求平面APB与平面CPD所成的锐二面角的余弦值
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)
如图,在梯形
中,
∥
,
,
,平面
平面
,四边形
是矩形,
,点
在线段
上.
(1)求证:平面BCF⊥平面ACFE;
(2)当
为何值时,
∥平面
?证明你的结论;
题型:不详
难度:
|
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(本小题12分)如图,
、
分别是正四棱柱
上、下底面的中
心,
是
的中点,
.
(Ⅰ)求证:
∥平面
;
(Ⅱ当
取何值时,
在平面
内的射影恰好为
的重心?
题型:不详
难度:
|
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一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形,且侧棱长等于底面边长,侧棱垂直于底面, 它的三视图如下图所示.则这个三棱柱的体积是
.
题型:不详
难度:
|
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