(本小题满分10分)如图,在三棱锥中,底面, 点,分别在棱上,且 (Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成的角的正弦值;
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(本小题满分10分)如图,在三棱锥中,底面, 点,分别在棱上,且 (Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成的角的正弦值;
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分10分)
如图,在三棱锥
中,
底面
, 点
,
分别在棱
上,且
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)当
为
的中点时,求
与平面
所成的角的正弦值;
答案
(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
与平面
所成的角的正弦值为
。
解析
本试题主要是考查了线面垂直的判定定理的运用,以及线面角的求解的综合运用。
(1)根据已知条件,PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.
又
,∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.
(2)∵D为PB的中点,DE//BC,
∴
,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,然后借助于三角形得到求解。
解法1(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.
又
,∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,
∴
,
又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,
∴△ABP为等腰直角三角形,∴
,
∴在Rt△ABC中,
,∴
.
∴在Rt△ADE中,
,
∴
与平面
所成的角的正弦值为
解法2如图,以A为原煤点建立空间直角坐标系
,
设
,由已知可得
.
(Ⅰ)∵
,
∴
,∴BC⊥AP.
又∵
,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的中点,
∴
,
∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵
,
∴
.
∴
与平面
所成的角的正弦值为
举一反三
(本题满分10分)
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=2,E为PA的中点,过E作平行于底面的平面EFGH,分别与另外三条侧棱相交于点F、G、H. 已知底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,∠BCD=135°.
(1)求异面直线AF与BG所成的角的大小;
(2)求平面APB与平面CPD所成的锐二面角的余弦值
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)
如图,在梯形
中,
∥
,
,
,平面
平面
,四边形
是矩形,
,点
在线段
上.
(1)求证:平面BCF⊥平面ACFE;
(2)当
为何值时,
∥平面
?证明你的结论;
题型:不详
难度:
|
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(本小题12分)如图,
、
分别是正四棱柱
上、下底面的中
心,
是
的中点,
.
(Ⅰ)求证:
∥平面
;
(Ⅱ当
取何值时,
在平面
内的射影恰好为
的重心?
题型:不详
难度:
|
查看答案
一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形,且侧棱长等于底面边长,侧棱垂直于底面, 它的三视图如下图所示.则这个三棱柱的体积是
.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)
如图1,在三棱锥P-A.BC中,PA.⊥平面A.BC,A.C⊥BC,D为侧棱PC上一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示.
(1) 证明:A.D⊥平面PBC;
(2) 求三棱锥D-A.BC的体积;
(3) 在∠A.CB的平分线上确定一点Q,使得PQ∥平面A.BD,并求此时PQ的长.
题型:不详
难度:
|
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