如图,在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,PC=PD=CD=2.(I)求证:PD⊥BC;(II)求二面角B—PD—C的正切值。

如图,在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,PC=PD=CD=2.(I)求证:PD⊥BC;(II)求二面角B—PD—C的正切值。

题型:不详难度:来源:
如图,在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,PC=PD=CD=2.
(I)求证:PD⊥BC;
(II)求二面角B—PD—C的正切值。
答案
见解析
解析
解决立体几何问题的,主要有两个策略,一是不建立坐标系,直接利用空间向量基本定理,即将有关向量用空间一组基底表示出来,然后通过向量的有关运算求解;二是建立空间坐标系,通过向量的坐标运算解决问题
方法一:
(I)证明:∵平面PCD⊥平面ABCD,又∵平面PCD∩平面ABCD=CD,BC在平面ABCD内 ,BC⊥CD,∴BC⊥平面PCD.∴PD⊥BC.    …………6分
(II)解:取PD的中点E,连接CE、BE,

为正三角形,
由(I)知BC⊥平面PCD,∴CE是BE在平面PCD内的射影,∴BE⊥PD.
∴∠CEB为二面角B—PD—C的平面角.       …………9分
         …………12分
方法二:(I)证明:取CD的中点为O,连接PO,

∵PD=PC,∴PO⊥CD,∵平面PCD⊥平面ABCD,
平面PCD∩平面ABCD=CD,∴PO⊥平面ABCD,如图,在平面ABCD内,过O作OM⊥CD交AB于M,以O为原点,OM、OC、OP分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系O—xyz,
由B(2,1,0),C(0,1,0),D(0,-1,0),     …………4分
…6分
(II)解:取PD的中点E,连接CE、BE,则为正三角形,为二面角B—PD—C的平面角.               
 
举一反三
某几何体的三视图如图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,则这个几何体的体积为     _____
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如图为一个几何体的三视图,其中俯视图为正三角形,,则该几何体的表面积为
A.B.C.D.

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如图:在三棱锥中,已知点分别为棱的中点

⑴ 求证:∥平面
⑵ 若,求证:平面⊥平面 
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如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2,且侧棱,正视图是边长为2的正方形,该三棱柱的侧视图面积为(      )
A.B. 4 C.D.

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一个四棱锥的底面为长方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是_________

第15题图
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