如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为2．、分别是、的中点，是的中点，过的平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、，已知．（1）求证：⊥面；（2）求二面

题型：不详难度：来源：

如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为2．、分别是、的中点，是的中点，过的平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、，已知．
（1）求证：⊥面；
（2）求二面角的大小．

答案

（1）同解析（2）二面角为。

解析

（1）证明：依题设，是的中位线，所以∥，
则∥平面，所以∥。
又是的中点，所以⊥，
则⊥。              
因为⊥，⊥，
所以⊥面，则⊥，
因此⊥面。

（2）作⊥于，连。
因为⊥平面，
根据三垂线定理知，⊥，              
就是二面角的平面角。       
作⊥于，则∥，则是的中点，则。
设，由得，，解得，
在中，，则，。
所以，故二面角为。
解法二：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则
  
所以
所以        
所以平面           
由∥得∥，故：平面 

(2)由已知设
则
由与共线得:存在有得

同理: 

设是平面的一个法向量,
则令得

又是平面的一个法量
              
所以二面角的大小为