已知三棱锥A-BCD及其三视图如图所示.(1)求三棱锥A-BCD的体积;(2)点D到平面ABC的距离;(3)求二面角B-AC-D的正弦值.
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已知三棱锥A-BCD及其三视图如图所示.(1)求三棱锥A-BCD的体积;(2)点D到平面ABC的距离;(3)求二面角B-AC-D的正弦值.
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已知三棱锥A-BCD及其三视图如图所示.
(1)求三棱锥A-BCD的体积;
(2)点D到平面ABC的距离;
(3)求二面角B-AC-D的正弦值.
答案
(1)由三视图可知:AD⊥底面CBD,AD=2,底面△BCD为等腰直角三角形,∠CBD=90°,BC=BD=1.
∴V
三棱锥A-BCD
=
1
3
S
△BCD
×AD
=
1
3
×
1
2
×
1
2
×2
=
1
3
;
(2)过D点D作DE⊥AB交AB于E,
由(1)可知:AD⊥平面BCD,∴AD⊥BC,
又BC⊥BD,AD∩BD=D,
∴BC⊥平面ABD,∴BC⊥DE.
∵AB∩BC=B,∴DE⊥平面ABC.
∴DE即为点D到平面ABC的距离.
在Rt△ABD中,
DE=
AD•DB
AB
=
2×1
2
2
+
1
2
=
2
5
5
.
(3)过点D作DF⊥AC交AC于点F,连接EF.
由(1)可知:DE⊥平面ABC.
∴DF⊥AC.
则∠DFE即为二面角的平面角.
在Rt△ADC中,由勾股定理可得AC=
2
2
+(
2
)
2
=
6
.
∴DF=
AD•DC
AC
=
2×
2
6
=
2
3
3
.
在Rt△DEF中,sin∠DFE=
DE
DF
=
2
5
5
2
3
3
=
15
5
.
举一反三
若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积为______cm
3
.
题型:不详
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一个几何体的正视图和俯视图如图所示,其中俯视图为边长为
2
3
的正三角形,且圆与三角形内切,则该几何体侧视图的面积为( )
A.4+π
B.
4
3
+π
C.6+3π
D.6+π
题型:不详
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一个几何体的三视图如图所示,这个几何体的体积是( )
A.
25π
3
B.
34π
3
C.
3+
16π
3
D.
12+
16π
3
题型:不详
难度:
|
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一座楼房由若干个房间组成,该楼的三视图如图所示.则该楼中最高一层的那个房间在大楼的位置是( )
A.右前上方
B.左前上方
C.右后上方
D.左后上方
题型:不详
难度:
|
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一个几何的三视图如图所示,它们都是腰长为1的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的体积等于( )
A.
2
2
π
B.
3
2
π
C.π
D.2π
题型:不详
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