由题意可知,这个几何体是直三棱柱,且AC⊥BC,AC=BC=CC1; (1)连接AC1,AB1,由直三棱柱的性质得AA1⊥平面A1B1C1; 所以AA1⊥A1B1,则四边形ABB1A1为矩形, 由矩形的性质得AB1过A1B的中点M. 在△AB1C1中,由中位线性质得MN∥AC1, 又AC1⊂ACC1A1,MN⊈ACC1A1, 所以MN∥平面ACC1A1. (2)因为BC⊥平面ACC1A1,AC⊂平面ACC1A1, 所以BC⊥AC1, 在正方形ACC1A1中,A1C⊥AC1, 又BC∩A1C=C, 所以AC1⊥平面A1BC, 由MN∥AC1,得MN⊥平面A1BC. (3)过点C作CD⊥AB与D.再过点D作DE⊥A1B, 连接CE, ∵AC=BC; ∴CD⊥AB由其为直棱柱⇒CD⊥平面ABB1A1; 则∠CED即为所求二面角的平面角. 又CD=AB=a,tan∠ABA1==⇒=⇒DE=a, ∴tan∠CED==,即∠CED=60°, 故二面角A-A1B-为60°. |