如图，在三棱锥中，是等边三角形，.（1）证明:：；（2）证明：；（3）若，且平面平面，求三棱锥体积.

题型：不详难度：来源：

如图，在三棱锥中，是等边三角形，.

（1）证明:：；
（2）证明：；
（3）若，且平面平面，求三棱锥体积.

答案

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

解析

试题分析：（1）先证明，从而得到；（2）取的中点，连接、，证明平面，利用直线与平面垂直的性质得到；（3）作，垂足为，连结，结合（2）中的结论证明平面，再求出的面积，最后利用分割法得到三棱锥的体积来进行计算.
试题解析：（1）因为是等边三角形，，
所以，可得；
（2）如图，取中点，连结、，则，，
所以平面，所以；

（3）作，垂足为，连结，
因为，所以，，
由已知，平面平面，故，
因为，所以、、都是等腰直角三角形.
由已知，得，的面积，
因为平面，
所以三棱锥的体积.