如图所示,矩形ABCD中,AB=a,AD=b,过点D作DE⊥AC于E,交直线AB于F.现将△ACD沿对角线AC折起到△PAC的位置,使二面角PACB的大小为60

如图所示,矩形ABCD中,AB=a,AD=b,过点D作DE⊥AC于E,交直线AB于F.现将△ACD沿对角线AC折起到△PAC的位置,使二面角PACB的大小为60

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如图所示,矩形ABCD中,AB=a,AD=b,过点D作DE⊥AC于E,交直线AB于F.现将△ACD沿对角线AC折起到△PAC的位置,使二面角PACB的大小为60°.过P作PH⊥EF于H.

(1)求证:PH⊥平面ABC;
(2)若a+b=2,求四面体PABC体积的最大值.
答案
(1)见解析   (2)
解析

(1)证明:∵DF⊥AC,
∴折起后AC⊥PE,AC⊥EF,
∴AC⊥平面PEF,
又PH⊂平面PEF,
∴AC⊥PH,
又PH⊥EF,EF∩AC=E,
∴PH⊥平面ABC.
(2)解:∵PE⊥AC,EF⊥AC,
∴∠PEF就是二面角PACB的平面角,
∴∠PEF=60°,
∴Rt△PHE中,PH=PE,
折起前,Rt△ADC中,
DE==,
S△ABC=ab,
折起后,PE=DE,
∴PH=PE=·,
=PH·S△ABC
=···ab
=·,
∵a+b=2,a>0,b>0,
==,
当且仅当a=b=1时,两个等号同时成立,
因此()max=.
举一反三
已知一个圆柱内接于球O中,其底面直径和母线都是2,则球O的体积是    .
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已知矩形ABCD的面积为8,当矩形ABCD周长最小时,沿对角线AC把△ACD折起,则三棱锥外接球表面积等于(  )
A.8πB.16πC.48πD.50π

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如图所示,三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥平面ABC,D、E分别为A1B1、AA1的中点,点F在棱AB上,且AF=AB.

(1)求证:EF∥平面BC1D;
(2)在棱AC上是否存在一个点G,使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1∶15,若存在,指出点G的位置;若不存在,说明理由.
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三棱锥的高为3,侧棱长均相等且为,底面是等边三角形,则这个三棱锥的体积为(   )
A.B.C.D.

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如图,一个底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水若放入一个半径为的实心铁球,水面高度恰好升高,则____________.

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