如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC⊥AD；(2)试问该四面体的体积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时棱

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如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．

(1)求证：BC⊥AD；
(2)试问该四面体的体积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时棱长AD的大小；若不存在，请说明理由．

答案

（1）见解析（2）最大值为8，此时棱长AD＝2.

解析

(1)证明：取BC的中点E，连结AE，DE，
∵△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形，
∴AE⊥BC，DE⊥BC.
∵AE∩DE＝E，
∴BC⊥平面AED，AD⊂平面AED，∴BC⊥AD.

(2)由已知得，△AED为等腰三角形，且AE＝ED＝2，
设AD＝x，F为棱AD的中点，
则EF＝ ，S_△AED＝，
V＝S_△AED·(BE＋CE)＝ (0＜x＜4)，
当x²＝24，即x＝2时，V_max＝8，
∴该四面体存在最大值，最大值为8，此时棱长AD＝2.