如图甲,⊙O的直径AB=2,圆上两点C、D在直径AB的两侧,且∠CAB=,∠DAB=.沿直径AB折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙),F为BC的中点,E
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如图甲,⊙O的直径AB=2,圆上两点C、D在直径AB的两侧,且∠CAB=,∠DAB=.沿直径AB折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙),F为BC的中点,E
题型:不详
难度:
来源:
如图甲,⊙
O
的直径
AB
=2,圆上两点
C
、
D
在直径
AB
的两侧,且∠
CAB
=
,∠
DAB
=
.沿直径
AB
折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙),
F
为
BC
的中点,
E
为
AO
的中点.根据图乙解答下列各题:
(1)求三棱锥
C
-
BOD
的体积;
(2)求证:
CB
⊥
DE
;
(3)在
上是否存在一点
G
,使得
FG
∥平面
ACD
?若存在,试确定点
G
的位置;若不存在,请说明理由.
答案
(1)
(2)见解析(3)
G
为
的中点
解析
(1)∵
C
为圆周上一点,且
AB
为直径,∴∠
C
=
,
∵∠
CAB
=
,∴
AC
=
BC
,
∵
O
为
AB
的中点,∴
CO
⊥
AB
,
∵
AB
=2,∴
CO
=1.
∵两个半圆所在平面
ACB
与平面
ADB
互相垂直且其交线为
AB
,
∴
CO
⊥平面
ABD
,∴
CO
⊥平面
BOD
.
∴
CO
就是点
C
到平面
BOD
的距离,
S
△
BOD
=
S
△
ABD
=
×
×1×
=
,
∴
V
C
-
BOD
=
S
△
BOD
·
CO
=
×
×1=
.
(2)证明:在△
AOD
中,∵∠
OAD
=
,
OA
=
OD
,
∴△
AOD
为正三角形,
又∵
E
为
OA
的中点,∴
DE
⊥
AO
,
∵两个半圆所在平面
ACB
与平面
ADB
互相垂直且其交线为
AB
,
∴
DE
⊥平面
ABC
.
又
CB
⊂平面
ABC
,∴
CB
⊥
DE
.
(3)存在满足题意的点
G
,
G
为
的中点.证明如下:
连接
OG
,
OF
,
FG
,
易知
OG
⊥
BD
,
∵
AB
为⊙
O
的直径,
∴
AD
⊥
BD
,
∴
OG
∥
AD
,
∵
OG
⊄平面
ACD
,
AD
⊂平面
ACD
,
∴
OG
∥平面
ACD
.
在△
ABC
中,
O
,
F
分别为
AB
,
BC
的中点,
∴
OF
∥
AC
,
∴
OF
∥平面
ACD
,
∵
OG
∩
OF
=
O
,
∴平面
OFG
∥平面
ACD
.
又
FG
⊂平面
OFG
,∴
FG
∥平面
ACD
.
举一反三
已知三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
,底面是边长为
的正三角形,侧棱垂直于底面,且该三棱柱的外接球的体积为
,则该三棱柱的体积为________.
题型:不详
难度:
|
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已知四棱锥
P
-
ABCD
的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形,如图分别是四棱锥
P
-
ABCD
的侧视图和俯视图.
(1)求证:
AD
⊥
PC
;
(2)求四棱锥
P
-
ABCD
的侧面
PAB
的面积.
题型:不详
难度:
|
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如图,四面体
ABCD
中,△
ABC
与△
DBC
都是边长为4的正三角形.
(1)求证:
BC
⊥
AD
;
(2)试问该四面体的体积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时棱长
AD
的大小;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,在直棱柱ABC
A
1
B
1
C
1
中,∠BAC=90°,AB=AC=
,AA
1
=3,D是BC的中点,点E在棱BB
1
上运动.
(1)证明:AD⊥C
1
E;
(2)当异面直线AC,C
1
E所成的角为60°时,求三棱锥C
1
A
1
B
1
E的体积.
题型:不详
难度:
|
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题型:不详
难度:
|
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