(1)在四棱锥P-ABCD中, ∵PO⊥平面ABCD, ∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角, 即∠PBO=60°. 在Rt△POB中, ∵BO=AB·sin30°=1, 又PO⊥OB, ∴PO=BO·tan60°=, ∵底面菱形的面积S菱形ABCD=2. ∴四棱锥P -ABCD的体积 VP -ABCD=×2×=2. (2)取AB的中点F,连接EF,DF,
∵E为PB中点, ∴EF∥PA. ∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或补角). 在Rt△AOB中, AO=AB·cos30°==OP, ∴在Rt△POA中,PA=, ∴EF=. ∵四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°, ∴△ABD为正三角形. 又∵∠PBO=60°,BO=1, ∴PB=2,∴PB=PD=BD,即△PBD为正三角形, ∴DF=DE=, ∴cos∠DEF= ===. 即异面直线DE与PA所成角的余弦值为. |