如图,已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E,F,G分别是PD,PC,BC的中点.(1)求

如图,已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E,F,G分别是PD,PC,BC的中点.(1)求

题型:不详难度:来源:
如图,已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E,F,G分别是PD,PC,BC的中点.

(1)求证:平面EFG⊥平面PAD;
(2)若M是线段CD上一点,求三棱锥M﹣EFG的体积.
答案
(1)详见解析;(2).
解析

试题分析:(1)要证明面面垂直,只需在一个平面内找到另一平面的一条垂线.由已知平面平面,且,可证平面,再根据是中位线,可证,从而平面,进而再证平面平面,该题实质是先找到面的一条垂线,再将平移到面内;
(2)点是线段的动点,考虑到到面的距离相等,故,再结合第(1)问结果,取的中点连接,据面面垂直的性质,点的距离就是三棱锥的高,再求,进而求体积.
试题解析:(1)∵平面平面,平面平面 平面平面,又中,分别是的中点,,可得平面 平面,∴平面平面
(2) 平面平面平面,因此上的点到平面的距离等于点到平面的距离,∴,取的中点连接,则平面 平面,∴,于是
∵平面平面,平面平面是正三角形,∴点到平面的距离等于正的高,即为,因此,三棱锥M﹣EFG的体积==.
举一反三
如图,在三棱柱中,侧棱底面的中点,.

(Ⅰ)求证://平面
(Ⅱ)设,求四棱锥的体积.
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如图,四边形为矩形,平面,平面于点,且点上.

(1)求证:
(2)求四棱锥的体积;
(3)设点在线段上,且,试在线段上确定一点,使得平面.
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在三棱柱种侧棱垂直于底面,,且三棱柱的体积为3,则三棱柱的外接球的表面积为          .
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已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且AB=3,BC=2, 则棱锥O-ABCD的体积为________.
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如图,在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是AD,A1D1的中点,长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动,另一个端点N在底面A1B1C1D1上运动,则线段MN的中点P在二面角A—A1 D1—B1内运动所形成的轨迹(曲面)的面积为(   )
A.B.C.D.

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