已知四边形满足∥，，是的中点，将沿着翻折成，使面面，为的中点. （Ⅰ）求四棱的体积；（Ⅱ）证明：∥面；（Ⅲ）求面与面所成二面角的余弦值.

题型：不详难度：来源：

已知四边形满足∥，，是的中点，将沿着翻折成，使面面，为的中点.

（Ⅰ）求四棱的体积；
（Ⅱ）证明：∥面；
（Ⅲ）求面与面所成二面角的余弦值.

答案

（Ⅰ）取的中点连接，因为，为等边三角形，则，又因为面面，所以面，
所以…………4分
（Ⅱ）连接交于，连接，因为为菱形，，又为的中点，所以∥，所以∥面……………7分
（Ⅲ）连接，分别以为轴
则
……9分
设面的法向量，，令，则
设面的法向量为，，令，则……11分
则，所以二面角的余弦值为

解析

略