如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.

题型：不详难度：来源：

如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.

答案

旋转所得到的几何体的表面积为R² 体积是R³

解析

如图所示,过C作CO₁⊥AB于O₁,

在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,
∴AC=R,BC=R,CO₁=R,
∴S_球=4R²,
=×R×R=R²,
=×R×R=R²,
∴S_几何体表=S_球++
=R²+R²=R²,
∴旋转所得到的几何体的表面积为R².
又V_球=R³,=·AO₁·CO₁²=R²·AO₁
=BO₁·CO₁²=BO₁·R²
∴V_几何体=V_球-（+）
=R³-R³=R³.