有三个球,第一个球内切于正方体六个面,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.

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答案

设正方体的棱长为a.
(1)正方体的内切球球心是正方体的中心,
切点是六个面的中心,
经过四个切点及球心作截面如图①,
所以有2r₁=a,.
所以S₁=4πr₁²=πa².

(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,
过球心作正方体的对角面得截面,如图②,2r₂=, ,
所以S₂=4πr₂²=2πa².

③
(3)正方体的各个顶点在球面上,
过球心作正方体的对角面得截面,
如图③,所以有, ,
所以S₃=4πr₃²=3πa².
由上知:S₁∶S₂∶S₃=1∶2∶3.

解析

简单几何体和球

举一反三

三棱台ABC-A₁B₁C₁中,AB∶A1B1=1∶2,则三棱锥A₁ABC,B-A₁B₁C,C-A₁B₁C₁的体积之比为(　　)

A．1∶1∶1

B．1∶1∶2

C．1∶2∶4

D．1∶4∶4

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有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a、4a、5a(a＞0),用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是__________.

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下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是(　　)

A．9π

B．10π

C．11π

D．12π

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三个球半径之比是1∶2∶3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(　　)

A．倍

B．倍

C．2倍

D．3倍

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如图所示,三棱锥A-BCD的两条棱长AB=CD=6,其余各棱长均为5,此三棱锥的体积为,求三棱锥的内切球的体积.

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