已知一个圆锥的底面半径为R,高为h,在圆锥内部有一个高为x的内接圆柱.(1)画出圆锥及其内接圆柱的轴截面;(2)求圆柱的侧面积;(3)x为何值时,圆柱的侧面积最

已知一个圆锥的底面半径为R,高为h,在圆锥内部有一个高为x的内接圆柱.(1)画出圆锥及其内接圆柱的轴截面;(2)求圆柱的侧面积;(3)x为何值时,圆柱的侧面积最

题型:不详难度:来源:
已知一个圆锥的底面半径为R,高为h,在圆锥内部有一个高为x的内接圆柱.
(1)画出圆锥及其内接圆柱的轴截面;
(2)求圆柱的侧面积;
(3)x为何值时,圆柱的侧面积最大?最大侧面积为多少?
答案
(1)如下图:


(2)设圆柱的底面半径为r,
r
R
=
h-x
h

r=
h-x
h
•R=R-
x
h
•R

∴圆柱侧面积S=2πr•x=2π(R-
x
h
•R)x=-
2πR
h
x2+2πRx
(0<x<h).
(3)由(2)知:圆柱侧面积S=-
2πR
h
x2+2πRx
=-
2πR
h
(x-
h
2
)2+
πRh
2
(0<x<h)
∴当x=
h
2
时,圆柱侧面积最大,最大侧面积为
πRh
2
举一反三
如图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1AC=∠ACB=
π
2
,∠AA1C=
π
6
,侧棱BB1
与底面所成的角为
π
3
,AA1=4


3
,BC=4.求斜三棱柱ABC-A1B1C1的体积V.
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一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E-ABC组合而成,点A、B、C在圆O的圆周上,其正(主)视图、侧(左)视图的面积分别为10和12,如图2所示,其中EA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC,AE=2.

(1)求证:AC⊥BD;
(2)求三棱锥E-BCD的体积.
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记S为四面体四个面的面积S1,S2,S3,S4中的最大者,若λ=
S1+S2+S3+S4
S
,则(  )
A.2<λ<3B.2<λ≤4C.3<λ≤4D.3.5<λ<5
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已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则三棱锥D1-AB1C的体积与正方体ABCD-A1B1C1D1的体积之比为(  )
A.1:3B.1:4C.1:2D.1:6
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底面是边长为4的正方形,侧棱长为2


5
的正四棱锥的侧面积和体积依次为(  )
A.24,
64
3
B.8,
32


3
3
C.32,
64
3
D.32,
32


3
3
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