四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，∠SCD=90°，∠SBC=90°，二面角S-CD-B为60°，且AB=SC=4．（1）求证：平面SAB⊥平面ABCD

题型：不详难度：来源：

四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，∠SCD=90°，∠SBC=90°，二面角S-CD-B为60°，且AB=SC=4．
（1）求证：平面SAB⊥平面ABCD；
（2）求三棱锥C-ASD的高（即以△SAD为底的三棱锥的高）．

答案

（1）证明：

∵DC⊥BCDC⊥SC∴DC⊥平面SCB
∴DC⊥SB且∠SCB为二面角S-CD-B的平面角，则∠SCB=60°
又∵SB⊥BC∴SB⊥平面ABCD
又∵SB⊂平面SAB∴平面SAB⊥平面ABCD
（2）连接AC
∵SB⊥平面ABCD∴SB⊥AD又AD⊥AB
∴AD⊥平面SAB∴AD⊥SA
在Rt△ASD₁中AS=

AB2+SB2

=

42+(2 3 )2

=2

7

，AD=BC=2
由V_C-SAD=V_S-ACD∴AD×AS•h=AD×CD×SB
∴h=

4 21

7

∴三棱锥C-ASD的高为

4 21

7