(1)依题意得EF⊥DE,EF⊥AE,∴EF⊥平面ADE,∠DEA=θ. 由θ=45°得,S△ADE=DE•EAsin45°=, ∴VBCF-ADE=S△ADE•EF=. (2)证法一:过点M作MM1⊥BF交BF于M1, 过点N作NN1⊥CF交BF于N1,连接M1N1, ∵MM1∥AB,NN1∥EF∴MM1∥NN1 又∵===,∴MM1=NN1 ∴四边形MNN1M1为平行四边形, ∴MN∥N1M1,又MN⊄面BCF,N1M1⊂面BCF,∴MN∥面BCF. 证法二:过点M作MG⊥EF交EF于G,连接NG,则==,∴NG∥CF.
又NG⊄面BCF,CF⊂面BCF,∴NG∥面BCF, 同理可证得MG∥面BCF,又MG∩NG=G,∴平面MNG∥平面BCF, ∵MN⊂平面MNG,∴MN∥面BCF. (3)证法一:取CF的中点为Q,连接MQ、NQ,则MQ∥AC, ∴∠NMQ或其补角为异面直线MN与AC所成的角, ∵θ=900且a=.∴NQ=,MQ==∴MN=,--
-- ∴cos∠NMQ==. 即MN与AC所成角的余弦值为. 证法二:∵θ=900且a=. 分别以FE、FB、FC所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.A(1,1,0),C(0,0,1),M(,,0),N(,0,),得=(-1,-1,1),=(0,-,), ∴cos<,>==, 所以与AC所成角的余弦值为. |