正四棱锥S-ABCD内接于一个半径为R的球,那么这个正四棱锥体积的最大值为______.
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正四棱锥S-ABCD内接于一个半径为R的球,那么这个正四棱锥体积的最大值为______. |
答案
设正四棱锥S-ABCD的底面边长等于a,底面到球心的距离等于x 则:x2+(a) 2=R 2 而正四棱锥的高为h=R+x 故正四棱锥体积为: V(x)=×a2h=×a2(R+x)=(R 2-x 2)(R+x) 其中x∈(0,R) ∵(R 2-x 2)(R+x) =(2R-2x)(R+x)(R+x)≤×() 3=R3 当且仅当x=R时,等号成立 那么这个正四棱锥体积的最大值为:R3 故答案为:R3 |
举一反三
△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=2,M是AB的中点.将△ACM沿CM折起,使A,B两点间的距离为 2,此时三棱锥A-BCM的体积等于______. |
顶点为P的圆锥的轴截面积是等腰直角三角形,A是底面圆周上的点,O为底面圆的圆心,AB⊥OB,垂足为B,OH⊥PB,垂足为H,且PA=4,C为PA的中点,则当三棱锥O-HPC的体积最大时,OB的长是( ) |
在四面体ABCD中,设AB=1,CD=,直线AB与CD的距离为2,夹角为,则四面体ABCD的体积等于( ) |
直平行六面体的底面是菱形,两个对角面面积分别为Q1,Q2,求直平行六面体的侧面积. |
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