如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°。（1）求四棱锥P-ABCD的体积；（

题型：高考真题难度：来源：

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°。
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）证明PA⊥BD。

答案

解：（1）取AD的中点E，连结PE，则PE⊥AD
作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连结OE
根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，
所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，
由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，
所以PO=3，四棱锥P-ABCD的体积
 V_P-ABCD=。
（2）连结AO，延长AO交BD于点F
通过计算可得EO=3，AE=2，又知AD=4，AB=8，
得
所以 Rt△AEO∽Rt△BAD. 得∠EAO=∠ABD
所以∠EAO+∠ADF=90°
所以AF⊥BD
因为直线AF为直线PA在平面ABCD 内的射影，
所以PA⊥BD。