已知三棱锥P-ABC中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=12AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.(Ⅰ)证明:CM⊥SN;(Ⅱ
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已知三棱锥P-ABC中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=12AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.(Ⅰ)证明:CM⊥SN;(Ⅱ
题型:辽宁
难度:
来源:
已知三棱锥P-ABC中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=
1
2
AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
(Ⅰ)证明:CM⊥SN;
(Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小.
答案
证明:设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图.
则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),
M(1,0,
1
2
),N(
1
2
,0,0),S(1,
1
2
,0).(4分)
(Ⅰ)
CM
=(1,-1,
1
2
),
SN
=(-
1
2
,-
1
2
,0)
,
因为
CM
•
SN
=-
1
2
+
1
2
+0=0
,
所以CM⊥SN(6分)
(Ⅱ)
NC
=(-
1
2
,1,0)
,
设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,
则
x-y+
1
2
z=0
-
1
2
x+y=0.
令x=2,得a=(2,1,-2).
因为
|cos〈a,
SN
>|=|
-1-
1
2
3×
2
2
|=
2
2
,
所以SN与片面CMN所成角为45°.
举一反三
用a、b、c表示三条不同的直线,y表示平面,给出下列命题:( )
①若a
∥
b,b
∥
c,则a
∥
c;
②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;
③若a
∥
y,b
∥
y,则a
∥
b;
④若a⊥y,b⊥y,则a
∥
b.
A.①②
B.②③
C.①④
D.③④
题型:湖北
难度:
|
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设a、b是一对异面直线,则与a、b都垂直的直线有( )
A.0条
B.1条
C.2条
D.无数条
题型:不详
难度:
|
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如图,在三棱锥S-ABC中,G
1
,G
2
分别是△SAB和△SAC的重心,则直线G
1
G
2
与BC的位置关系是( )
A.相交
B.平行
C.异面
D.以上都有可能
题型:不详
难度:
|
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直线a
∥
平面α,直线b
∥
平面α,那么直线a与b的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.都有可能
题型:不详
难度:
|
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如图,M是正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱DD
1
的中点,给出下列命题:
①过M点有且只有一条直线与直线AB、B
1
C
1
都相交;
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B
1
C
1
都垂直;
③过M点有且只有一个平面与直线AB、B
1
C
1
都相交;
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B
1
C
1
都平行.
其中真命题是______.(把你认为正确命题的序号都填上)
题型:不详
难度:
|
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