(1)证明:取AD中点E,连接ME,NE, 由已知M,N分别是PA,BC的中点, ∴ME∥PD,NE∥CD 又ME,NE⊂平面MNE,ME∩NE=E, 所以,平面MNE∥平面PCD,(2分) 所以,MN∥平面PCD(3分)
(2)证明:因为PD⊥平面ABCD, 所以PD⊥DA,PD⊥DC, 在矩形ABCD中,AD⊥DC, 如图,以D为坐标原点, 射线DA,DC,DP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系(4分) 则D(0,0,0),A(,0,0),B(,1,0)C(0,1,0),P(0,0,)(6分) 所以M(,0,),=(-,-1,0),=(-,1,-)(7分) ∵•=0,所以MC⊥BD(8分)
(3)因为ME∥PD,所以ME⊥平面ABCD,ME⊥BD,又BD⊥MC, 所以BD⊥平面MCE, 所以CE⊥BD,又CE⊥PD,所以CE⊥平面PBD,(9分) 由已知E(,0,0), 所以平面PBD的法向量=(-,1,0)(10分) M为等腰直角三角形PAD斜边中点,所以DM⊥PA, 又CD⊥平面PAD,AB∥CD, 所以AB⊥平面PAD,AB⊥DM, 所以DM⊥平面PAB,(11分) 所以平面PAB的法向量(-,0,-) 设二面角A-PB-D的平面角为θ, 则cosθ==. 所以,二面角A-PB-D的余弦值为.(12分) |