解:(1)连接BD交AC于O, ∵四边形ABCD为菱形, ∴BD⊥AC ∵平面A1C1C⊥平面ABCD, ∴A1在平面ABCD内的射影落在AC上, ∴AC为AA1在平面ABCD内的射影 ∴BD⊥AA1。 (2)作OK⊥AA1于K,连接DK,则DK⊥AA1,OD⊥OK 故∠DKO为二面角D-A1A-C的平面角, ∵∠OAK=60°, ∴OK= 而, ∴ tan∠DKO=2, ∴二面角D-A1A-C的平面角的余弦值是。 (3)存在,点P在C1C的延长线上且CP=C1C,证明如下: 延长C1C到P使CP=C1C,连接B1C,BP,则BP∥B1C ∴BP∥A1D 又A1D 平面DA1C1,BP平面DA1C1, ∴BP∥平面DA1C1。 |