(1)取PD的中点M,连接AM,FM, 因为E,F分别是AB、PC的中点. 所以MF∥CD,且MF=CD, 所以MF∥AE,且MF=AE, 即四边形AEFM为平行四边形. 因为EF⊈面PAD,所以EF∥平面PAD; (2)因为PA⊥平面ABCD,矩形ABCD,所以PA⊥CD,CD⊥AD, 所以CD⊥面PAD, 因为AM⊂面PAD, 所以CD⊥AM, 所以CD与AM所成的角为90°. 由(1)知四边形AEFM为平行四边形, 所以EF∥AM. 所以异面直线EF与CD所成的角为90°. (3)以A为坐标原点以AB,AD,AP分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系, 因为∠PDA=45°,所以PA=AD=3, 当AD=3,则P(0,0,3),B(2,0,0),C(2,3,0),D(0,3,0), 因为E是AB的中点,所以E(1,0,0). 则=(1,0,-3),=(2,3,-3),=(0,3,-3). 设平面PEF的法向量为=(a,b,c),则, 所以,不妨设c=1,则a=3,b=-2, 即=(3,-2,1),所以•=-2×3-3=-9,||=, 所以点D到面PEF的距离d===.
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