如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，M在四边形EFGH上及其内部运动

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如图，在边长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别是CC₁，C₁D₁，D₁D，CD的中点，N是BC的中点，M在四边形EFGH上及其内部运动，若MN∥平面A₁BD，则点M轨迹的长度是______．

答案

连接GH、HN，则GH∥BA₁，HN∥BD，
∵在边长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别是CC₁，C₁D₁，D₁D，CD的中点，
N是BC的中点，M在四边形EFGH上及其内部运动，MN∥平面A₁BD，
∴平面A₁BD∥平面GHN，
又点M在四边形上及其内部运动，
则点M须在线段GH上运动，即满足条件，GH=

a，
则点M轨迹的长度是

a．
故答案为：

a．

举一反三

如图：E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面α过EH分别交BC、CD于F、G．
求证：EH∥FG．

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空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD=BC=a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？

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如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA上的动点．
（I）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE；
（Ⅲ）探究：不论点E在侧棱PA的任何位置，BD⊥CE是否都成立？若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由．

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如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，cos∠CAB=

，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁
（3）求三棱锥A₁-B₁CD的体积．

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如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，D为C₁B的中点，P为AB边上的动点．
（Ⅰ）当点P为AB的中点时，证明DP∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若AP=3PB，求三棱锥B-CDP的体积．

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