如图,已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,AB=5,cos∠CAB=35,AA1=4,点D是AB的中点.(1)求证:AC⊥BC1(2)求

如图,已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,AB=5,cos∠CAB=35,AA1=4,点D是AB的中点.(1)求证:AC⊥BC1(2)求

题型:不详难度:来源:
如图,已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,AB=5,cos∠CAB=
3
5
,AA1=4,点D是AB的中点.
(1)求证:AC⊥BC1
(2)求证:AC1平面CDB1
(3)求三棱锥A1-B1CD的体积.
答案
(1)证明:在△ABC中,由余弦定理得BC=4,∴△ABC为直角三角形,∴AC⊥BC.
又∵CC1⊥面ABC,∴CC1⊥AC,CC1∩BC=C,∴AC⊥面BCC1∴AC⊥BC1
(2)证明:设B1C交BC1于点E,则E为BC1的中点,连接DE,则DE为△ABC1的中位线,
则在△ABC1中,DEAC1,又DE⊂面CDB1,则AC1面B1CD.
(3)在△ABC中过C作CF⊥AB垂足为F,
由面ABB1A1⊥面ABC知,CF⊥面ABB1A1,∴VA1-B1CD=VC-A1DB1
S△DA1B1=
1
2
A1B1•AA1=5×4×
1
2
=10
CF=
AC•BC
AB
=
3×4
5
=
12
5

VA1-B1CD=
1
3
×10×
12
5
=8
举一反三
如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=3,D为C1B的中点,P为AB边上的动点.
(Ⅰ)当点P为AB的中点时,证明DP平面ACC1A1
(Ⅱ)若AP=3PB,求三棱锥B-CDP的体积.
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如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,AB=2,∠PDA=45°,E、F分别是AB、PC的中点.
(1)求证:EF平面PAD;
(2)求异面直线EF与CD所成的角;
(3)若AD=3,求点D到面PEF的距离.
题型:不详难度:| 查看答案
三棱锥P-ABC,底面ABC为边长为2


3
的正三角形,平面PBC⊥平面ABC,PB=PC=2,D为AP上一点,AD=2DP,O为底面三角形中心.
(Ⅰ)求证DO面PBC;
(Ⅱ)求证:BD⊥AC;
(Ⅲ)求面DOB截三棱锥P-ABC所得的较大几何体的体积.
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如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6.D、E分别是AC、AB上的点,且DEBC,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1D⊥CD,如图2.
(1)求证:BC平面A1DE;
(2)求证:BC⊥平面A1DC;
(3)当D点在何处时,A1B的长度最小,并求出最小值.
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如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点.
(1)求证:BE平面PDF;
(2)求证:平面PDF⊥平面PAB;
(3)求二面角P-BC-A的大小.
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