设数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,对每一个k∈N*,在ak与ak+1之间插入2k-1个2,得到新数列{bn},设An、Bn分别是数列{an}和{bn
题型:吉安二模难度:来源:
设数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,对每一个k∈N*,在ak与ak+1之间插入2k-1个2,得到新数列{bn},设An、Bn分别是数列{an}和{bn}的前n项和. (1)a10是数列{bn}的第几项; (2)是否存在正整数m,使Bm=2010?若不存在,请说明理由;否则,求出m的值; (3)设am是数列{bn}的第f(m)项,试比较:Bf(m)与2Am的大小,请详细论证你的结论. |
答案
(1)在数列{bn}中,对每一个K∈N*, 在ak与ak+1之间有2k-1个2,∴a10在数列{bn}中的项数为:10+1+2+4+…+28 …(2分) =10+=521即a10是数列{bn}中第521项 …(3分) (2)an=1+(n-1)•2=2n-1,在数列{bn}中,an及其前面所有项的和为:[1+3+5+…+(2n-1)]+(2+4+…+2n-1)=n2+=2n+n2-2…(5分) ∵210+102-2=1122<2010<211+112-2 且2010-1122=888=444×2 ∴存在m=521+444=965,使得Bm=2010…(8分) (3)由(2)知Bf(m)=2m+m2-2又Am=1+3+5+…+(2m-1)=m2 ∴Bf(m)-2Am=(2m+m2-2)-2m2=2m-(m2+2)…(10分) 当m=1时,2m=2,m2+2=3,故2m<m2+2; 当m=2时,2m=4,m2+2=6,故2m<m2+2; 当m=3时,2m=8,m2+2=11,故2m<m2+2; 当m=4时,2m=16,m2+2=18,故2m<m2+2; …(12分) 当m≥5时,2m=1+++…+++1≥2(1+m+) 因而当m=1,2,3,4时,Bf(m)<2Am; 当m≥5时且m∈N*时,Bf(m)>2Am…(14分) |
举一反三
已知数列{an}满足an+2=-an(n∈N*),且a1=1,a2=2,则该数列前2002项的和为( ) |
已知函数,f(x)=,数列{an}满足a1=1,an+1=f(an)(n∈N*) (I)求证数列{}是等差数列,并求数列{an}的通项公式; (II)记Sn=a1a2+a2a3+..anan+1,求Sn. |
已知函数f(x)=3-x,等比数列an的前n项和为f(n)-c,正项数列bn的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-=Sn-1+,(n≥2) (1)求c,并求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn(1-an)}的前n项和为Tn. |
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