如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,E、F分别是PC、PD的中点,求证:(Ⅰ)EF∥平面PAB;(Ⅱ)平面PAD⊥平面PDC.
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如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,E、F分别是PC、PD的中点,求证:(Ⅰ)EF∥平面PAB;(Ⅱ)平面PAD⊥平面PDC.
题型:通州区一模
难度:
来源:
如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,E、F分别是PC、PD的中点,求证:
(Ⅰ)EF
∥
平面PAB;
(Ⅱ)平面PAD⊥平面PDC.
答案
证明:
(Ⅰ)∵E、F分别是PC、PD的中点,
∴EF
∥
CD. (2分)
∵底面ABCD是矩形,
∴CD
∥
AB.
∴EF
∥
AB. (4分)
又AB⊂平面PAB,EF⊄平面PAB,
∴EF
∥
平面PAB. (7分)
(Ⅱ)∵PA⊥底面ABCD,CD⊂底面ABCD
∴PA⊥CD. (8分)
∵底面ABCD是矩形,AD⊥CD. (10分)
又PA∩AD=A,AP⊂面PAD,AD⊂面PAD,
∴DC⊥平面PAD. (12分)
∵DC⊂平面PDC,
∴平面PAD⊥平面PDC. (14分)
举一反三
在四边形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,AB=BC=2AD=4,E,F,G分别是BC,CD,AB的中点(如图1).将四边形ABCD沿FG折成空间图形(如图2)后,
(1)求证:DE⊥FG;
(2)线段BG上是否存在一点M,使得AM
∥
平面BDF?若存在,试指出点M的位置,并证明之;若不存在,试说明理由.
题型:江苏模拟
难度:
|
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若l、m表示互不重合的两条直线,α、β表示互不重合的两个平面,则l
∥
α的一个充分条件是( )
A.α
∥
β,l
∥
β
B.a∩β=m,l⊄a,l
∥
m
C.l
∥
m,m
∥
α
D.α⊥β,l⊥β
题型:不详
难度:
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已知直线m
∥
平面α,则下列命题中正确的是( )
A.α内所有直线都与直线m异面
B.α内所有直线都与直线m平行
C.α内有且只有一条直线与直线m平行
D.α内有无数条直线与直线m垂直
题型:不详
难度:
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如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE
∥
CF且BE<CF,
∠BCF=
π
2
,
AD=
3
,EF=2.
(1)求证:AE
∥
平面DCF;
(2)设
AB
BE
=λ(λ>0)
,当λ取何值时,二面角A-EF-C的大小为
π
3
?
题型:不详
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设α,β为两个不重合的平面,m,n为两条不重合的直线,给出下列四个命题:
①若m⊥n,m⊥α,n⊄α则n
∥
α;
②若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则n⊥β;
③若m⊥n,m
∥
α,n
∥
β,则α⊥β;
④若n⊂α,m⊂β,α与β相交且不垂直,则n与m不垂直.
其中所有真命题的序号是______.
题型:不详
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