如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥面ABCD,AD=CD,DB平分∠ADC,E为PC的中点.(1)证明:PA∥面BDE;(2)证明:面PAC⊥面PDB.
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如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥面ABCD,AD=CD,DB平分∠ADC,E为PC的中点. (1)证明:PA∥面BDE; (2)证明:面PAC⊥面PDB. |
答案
证明:(1)连接AC,交BD于O,连接OE ∵DB平分∠ADC,AD=CD∴AC⊥BD且OC=OA 又∵E为PC的中点∴OE∥PA 又∵OE⊂面BDE,PA⊄面BDE∴PA∥面BDE (2)由(1)知AC⊥DB ∵PD⊥面ABCD,AC⊂面ABCD∴AC⊥PD ∵PD⊂面PDB,BD⊂面PDB,PD∩DB=D∴AC⊥面PDB 又AC⊂面PAC∴面PAC⊥面PDB. |
举一反三
如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,E、F分别是PC、PD的中点,求证: (Ⅰ)EF∥平面PAB; (Ⅱ)平面PAD⊥平面PDC. |
在四边形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,AB=BC=2AD=4,E,F,G分别是BC,CD,AB的中点(如图1).将四边形ABCD沿FG折成空间图形(如图2)后, (1)求证:DE⊥FG; (2)线段BG上是否存在一点M,使得AM∥平面BDF?若存在,试指出点M的位置,并证明之;若不存在,试说明理由.
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若l、m表示互不重合的两条直线,α、β表示互不重合的两个平面,则l∥α的一个充分条件是( )A.α∥β,l∥β | B.a∩β=m,l⊄a,l∥m | C.l∥m,m∥α | D.α⊥β,l⊥β |
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已知直线m∥平面α,则下列命题中正确的是( ) A.α内所有直线都与直线m异面 | B.α内所有直线都与直线m平行 | C.α内有且只有一条直线与直线m平行 | D.α内有无数条直线与直线m垂直 | 如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF且BE<CF,∠BCF=,AD=,EF=2. (1)求证:AE∥平面DCF; (2)设=λ(λ>0),当λ取何值时,二面角A-EF-C的大小为? |
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