如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是BC的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面BCC1B1； （Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D．

题型：不详难度：来源：

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BCC₁B₁； 
（Ⅱ）求证：A₁C∥平面AB₁D．

答案

证明：（1）∵棱柱ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱


∴CC₁⊥平面ABC，
又∵AD⊂平面ABC，∴CC₁⊥AD
又∵正三角形ABC中，D是BC的中点．
∴AD⊥BC
∵BC∩CC₁=C，∴AD⊥面BCC₁B₁．
（2）连结A₁B，交AB₁于E，连接DE，
∵D为BC的中点，E是A₁B的中点，
∴DE∥A₁C且DE=

1

2

A₁C
又∵A₁C⊄平面AB₁D，DE⊂平面AB₁D．
∴A₁C∥平面AB₁D．